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高等數學定積分證明題篇一

我們把形如(為常數或的不等式稱之為數列和型不等式，這類不等式常見于高中數學競賽和高考壓軸題中，由于證明難度較大往往令人望而生畏.其中有些不等式若利用定積分的幾何意證明，則可達到以簡馭繁、以形助數的解題效果.下面舉例說明供參考.一、(為常數型，求證例1(2007年全國高中數學聯賽江蘇賽區第二試第二題已知正整數

.分析 這是一邊為常數另一邊與自然數有關的不等式，標準答案是用數學歸納法證明比這個不等式更強的不等式，這個不等式是怎么來的令人費解.若由所證式子聯想到在用定積分求曲邊梯形面積的過程中“分割求和”這一步，則可考慮用定積分的幾何意義求解.證明 構造函數知，在區間 并作圖象如圖1所示.因函數在上是凹函數，由函數圖象可上的個矩形的面積之和小于曲邊梯形的面積，圖1

即，因為，所以.所以.例2 求證

.證明 構造函數而函數在和小于曲邊梯形的面積，又，上的個矩形的面積之

上是凹函數，由圖象知，在區間

圖

2即，所以

.例

3證明。

證明

構造函數區間 上，因，又其函數是凹函數，由圖3可知，在個矩形的面積之和小于曲邊梯形的面積，圖3 即

.所以

.二、型

例4 若，求證:.證明 不等式鏈的左邊是通項為項之和，中間的通項不等式的數列的前項之和，右邊通項為項之和.故只要證當的數列的前時這三個數列的可當作是某數列的前

成立即可.構造函數，因為，作的圖象，由圖4知，在區間上曲邊梯形的面積大小在以區間長度1為一邊長，以左右端點對應的函數值為另一邊長的兩個矩形面積之間，即，而，故不等式

成立，從而所證不等式成立.例5（2010年高考湖北卷理科第21題）已知函數處的切線方程為（ⅰ）用表示出（ⅱ）若； 在內恒成立，求的取值范圍；.的圖象在點（ⅲ）證明:

.本題第三問不等式的證明是本大題也是本卷的壓軸戲，具有綜合性強、難度大、思維含金量高、區分度大等特點.這個不等式的證明既可用第二問的結論證明也可用定積分來證明.證明

（ⅲ）不等式項之和，我們也可把右邊當作是通項為的數列的前項之和，此式適合即，左邊是通項為，則當，故只要證當的數列的前時，時，也就是要證

由此構造函數積，即，并作其圖象如圖5所示.由圖知，直角梯形的面積大于曲邊梯形的面

.圖5

而立.，所以，故原不等式成

高等數學定積分證明題篇二

利用定積分證明數列和型不等式

我們把形如(為常數)或的不等式稱之為數列和型不等式，這類不等式常見于高中數學競賽和高考壓軸題中，由于證明難度較大往往令人望而生畏.其中有些不等式若利用定積分的幾何意證明，則可達到以簡馭繁、以形助數的解題效果.下面舉例說明供參考.一、(為常數)型

例1(2007年全國高中數學聯賽江蘇賽區第二試第二題)已知正整數，求證

.分析

這是一邊為常數另一邊與自然數有關的不等式，標準答案是用數學歸納法證明比這個不等式更強的不等式，這個不等式是怎么來的令人費解.若由所證式子聯想到在用定積分求曲邊梯形面積的過程中“分割求和”這一步，則可考慮用定積分的幾何意義求解.證明 構造函數數圖象可知，在區間

并作圖象如圖1所示.因函數在上是凹函數，由函

上的個矩形的面積之和小于曲邊梯形的面積，圖1 即，因為，所以.所以

.例2 求證

.證明 構造函數

而函數在，又，上是凹函數，由圖象知，在區間上的個矩形的面積之和小于曲邊梯形的面積，圖

2即，所以.例3 證明。

證明 構造函數可知，在區間 上，因，又其函數是凹函數，由圖

3個矩形的面積之和小于曲邊梯形的面積，圖3

即

.所以

.二、型

例4 若，求證:.證明 不等式鏈的左邊是通項為前項之和，中間的的數列的前項之和，右邊通項為項之和.故只要證當的數列的時這三個數

可當作是某數列的前列的通項不等式

成立即可.構造函數，因為，作的圖象，由圖4知，在區間上曲邊梯形的面積大小在以區間長度1為一邊長，以左右端點對應的函數值為另一邊長的兩個矩形面積之間，即，而，故不等式

成立，從而所證不等式成立.圖4

例5（2010年高考湖北卷理科第21題）已知函數處的切線方程為

（ⅰ）用表示出 ；

.的圖象在點（ⅱ）若 在內恒成立，求的取值范圍；

（ⅲ）證明:

.本題第三問不等式的證明是本大題也是本卷的壓軸戲，具有綜合性強、難度大、思維含金量高、區分度大等特點.這個不等式的證明既可用第二問的結論證明也可用定積分來證明.證明（ⅲ）不等式數列的前項之和，我們也可把右邊當作是通項為

左邊是通項為的數列的前項之和，則當的時，此式適合，故只要證當 時，即，也就是要證

.由此構造函數，并作其圖象如圖5所示.由圖知，直角梯形的面積大于曲邊梯形的面積，即

.圖

5而，所以，故原不等式成立.點評 本解法另辟蹊徑，挖掘新的待證不等式左右兩邊的幾何意義，通過構造函數利用定積分的幾何意義來解決問題，解法雖然綜合性強，但由于數形結合解法直觀便于操作.積分法是在新課標下證明不等式的一個新方法新亮點，很值得品味.由例4例5可知，要解決這類復雜問題的關鍵是要善于聯想善于分析問題和轉化問題，這樣才能化繁為簡、化難為易，

高等數學定積分證明題篇三

利用定積分證明數列和型不等式

我們把形如(為常數)

或的不等式稱之為數列和型不等式，這類不等式常見于高中數學競賽和高考壓軸題中，由于證明難度較大往往令人望而生畏.其中有些不等式若利用定積分的幾何意證明，則可達到以簡馭繁、以形助數的解題效果.下面舉例說明供參考.一、(為常數)型

例1(2007年全國高中數學聯賽江蘇賽區第二試第二題)

已知正整數，求證

.分析這是一邊為常數另一邊與自然數有關的不等式，標準答案是用數學歸納法證明比這個不等式更強的不等式，這個不等式是怎么來的令人費解.若由所證式子聯想到在用定積分求曲邊梯形面積的過程中“分割求和”這一步，則可考慮用定積分的幾何意義求解.證明構造函數

數圖象可知，在區間并作圖象如圖1所示.因函數在上是凹函數，由函上的個矩形的面積之和小于曲邊梯形的面積，圖

1即，因為，所以.所以

.例2求證

.證明構造函數而函數

在，又，上是凹函數，由圖象知，在區間上的個矩形的面積之和

小于曲邊梯形的面積，圖

2即，所以

.例3證明。

證明構造函數知，在區間

上，因，又其函數是凹函數，由圖3可

個矩形的面積之和小于曲邊梯形的面積，圖

3即

.所以

.二、型

例4若，求證:.證明不等式鏈的左邊是通項為前

項之和，中間的的數列的前項之和，右邊通項為項之和.故只要證當的數列的時這三個數

可當作是某數列的前

列的通項不等式

成立即可.構造函數，因為，作的圖象，由圖4知，在區間

上曲邊梯形的面積大小在以區間長度1為一邊長，以左右端點對應的函數值為另一邊長的兩

個矩形面積之間，即，而，故不等式

成立，從而所證不等式成立.圖

4例5（2010年高考湖北卷理科第21題）已知函數

處的切線方程為的圖象在點

.（ⅰ）用表示出（ⅱ）若；

在內恒成立，求的取值范圍；

（ⅲ）證明:

.本題第三問不等式的證明是本大題也是本卷的壓軸戲，具有綜合性強、難度大、思維含金量高、區分度大等特點.這個不等式的證明既可用第二問的結論證明也可用定積分來證明.證明（ⅲ）不等式

列的前項之和，我們也可把右邊當作是通項為

左邊是通項為的數列的前項之和，則當的數時，此式適合，故只要證當

時，即，也就是要證

.由此構造函數，并作其圖象如圖5所示.由圖知，直角梯形的面積大于曲邊梯形的面

積，即

.圖5

而

故原不等式成立.，所以，

高等數學定積分證明題篇四

利用定積分證明數列和型不等式

湖北省陽新縣高級中學 鄒生書

我們把形如(為常數)

或的不等式稱之為數列和型不等式，這類不等式常見于高中數學競賽和高考壓軸題中，由于證明難度較大往往令人望而生畏.其中有些不等式若利用定積分的幾何意證明，則可達到以簡馭繁、以形助數的解題效果.下面舉例說明供參考.一、(為常數)型

例1(2007年全國高中數學聯賽江蘇賽區第二試第二題)

已知正整數，求證

.分析這是一邊為常數另一邊與自然數有關的不等式，標準答案是用數學歸納法證明比這個不等式更強的不等式，這個不等式是怎么來的令人費解.若由所證式子聯想到在用定積分求曲邊梯形面積的過程中“分割求和”這一步，則可考慮用定積分的幾何意義求解.證明構造函數

數圖象可知，在區間并作圖象如圖1所示.因函數在上是凹函數，由函上的個矩形的面積之和小于曲邊梯形的面積，圖

1即，因為，所以.所以

.例2求證

.證明構造函數而函數

在，又，上是凹函數，由圖象知，在區間上的個矩形的面積之和

小于曲邊梯形的面積，圖

2即，所以

.例3證明。

證明構造函數知，在區間

上，因，又其函數是凹函數，由圖3可

個矩形的面積之和小于曲邊梯形的面積，圖

3即

.所以

.二、型

例4若，求證:.證明不等式鏈的左邊是通項為前

項之和，中間的的數列的前項之和，右邊通項為項之和.故只要證當的數列的時這三個數

可當作是某數列的前

列的通項不等式

成立即可.構造函數，因為，作的圖象，由圖4知，在區間

上曲邊梯形的面積大小在以區間長度1為一邊長，以左右端點對應的函數值為另一邊長的兩

個矩形面積之間，即，而，故不等式

成立，從而所證不等式成立.圖

4例5（2010年高考湖北卷理科第21題）已知函數

處的切線方程為

.的圖象在點

（ⅰ）用表示出（ⅱ）若；

在內恒成立，求的取值范圍；

（ⅲ）證明:

.本題第三問不等式的證明是本大題也是本卷的壓軸戲，具有綜合性強、難度大、思維含金量高、區分度大等特點.這個不等式的證明既可用第二問的結論證明也可用定積分來證明.證明（ⅲ）不等式

列的前項之和，我們也可把右邊當作是通項為

左邊是通項為的數列的前項之和，則當的數時，此式適合，故只要證當

時，即，也就是要證

.由此構造函數，并作其圖象如圖5所示.由圖知，直角梯形的面積大于曲邊梯形的面

積，即

.圖

5而

故原不等式成立.，所以，點評本解法另辟蹊徑，挖掘新的待證不等式左右兩邊的幾何意義，通過構造函數利用定積分的幾何意義來解決問題，解法雖然綜合性強，但由于數形結合解法直觀便于操作.積分法是在新課標下證明不等式的一個新方法新亮點，很值得品味.由例4例5可知，要解決這類復雜問題的關鍵是要善于聯想善于分析問題和轉化問題，這樣才能化繁為簡、化難為易，精彩的解法不是空穴來風而是理性思維的必然結果.作者簡介：鄒生書，男，1962年12月出生，湖北陽新縣人.現任教于陽新縣高級中學，中學數學高級教師，黃石市骨干教師.近四年來在《數學通訊》、《數學通報》、《中學數學教學參考》、《中學數學教學》、《中學數學月刊》、《中學數學》、《中學教研》、《中學數學研究》、《中小學數學》、《高中數學教與學》、《中學生數學》、《河北理科教學研究》、《數理天地》、《數理化解題研究》等近二十種期刊上發表教學教研文章百余篇，在人教網中學數學欄目發表文章二十多篇.